Hilberts hotell!

Ambassadör
League of Legends
Hilberts hotell!

Detta var från början en kommentar till walter_iego :s blogginlägg här på fz. Han skrev det igår (2011-01-25) klockan 19.01.
Det handlade om man kunde räkna till oändligheten. Jag började skriva en kommentar och insåg att det blev lite överflödigt för en kommentar och fick istället bli ett blogginlägg.

Jag har tänkt mycket på det här med oändligheten. Vad är det för något och hur kan man ta sig dit. Jag insåg efter ett tag att det är lika bra att lägga ner medans man har psyket kvar.
En karl som inte hade samma spärr som jag var matematikern David Hilbert.
En av hans mest kända bedrifter i livet var att komma på paradoxen om hotellet med oändligt många rum. Denna paradox fick namnet Hilberts hotell.

I Hilberts hotell finns det oändligt många rum men alla är upptagna. Dagen därpå kommer en ny gäst till hotellet vilket gör att alla gäster får flytta ett rum längre bort. Alltså personen i rum 1 flyttar till rum 2, personen i rum 2 till rum 3 osv. Med detta gjort blir rum 1 ledigt till den nya gästen. Nästa dag kommer det oändligt många gäster till Hilberts hotell. Dessa gäster kan också få plats trots att det är fullt genom att alla gamla gäster flytta till det rum med rumsnumret dubbelt så stort som det de nu bor i. Därmed blir oändligt många rum med ojämnt rumsnummer lediga för de nya gästerna. Dagen därpå kom det oändligt många bussar med oändligt många gäster. Dessa kommer också få plats i det redan fullsatta rummet. Detta är möjligt genom att göra som ovan, att flytta alla så att alla ojämna rum är lediga.
Nu lät hotellägaren släppa in alla i buss 1 till rummen 3^n, där n är ordningsnumret per person
I buss två fick alla personer gå till rum 5^n, där n är samma som ovan.
3 och 5 är primtal alltså blir det aldrig samma rumsnummer.
Buss 3 har 7^n, buss 4 har 11^n osv. och så går vi igenom alla primtal. Det finns ju hyfsat många primtal om man går till oändligheten och därmed får vi plats med alla gästerna. Man kan fortsätta men nu orkar jag inte mer.
Observera att vi har fått in oändligt många gäster från oändligt många bussar i oändligt många rum.
Detta är ju rätt märkligt men tänk er alla bråk t.ex. 111/17, så finns det ju mer bråk än heltal. se det som att täljaren betecknar bussnumret och nämnaren betecknar gästnumret. Då kan vi ta alla bråk som finns och dela in dem i ett redan fullt hotell men som tidigare visat kommer de få plats i det redan fulla hotellet. och när vi fyllt det denna gången är det ju fortfarande inte fullt.

Fråga mig inte hur det funkar men det funkar eftersom när vi pratar om oändligheten så är det oändligheten som vi kan räkna med, detta kallas uppräkning av oändligheten.

Detta är ett av de största påfunden i matematik och menar att alla heltal är lika med alla bråktal. Med lika menas att man kan sortera in alla bråktal i heltal.
Sen kan man kolla på alla reela tal. Dessa är många fler än bråk och heltal och därmed tillhör dessa en större oändlighet.

Jag har gått efter föreläsningsanteckningar från en föreläsning och jag tappade lite kontrollen mot slutet men jag hoppas att ni förstår att när man börjar gå in på tankar om oändligheten kan man komma riktigt vilse. Vill ni ha en bättre beskrivning finns det säkert ute på nätet.

Godnatt

#blogg

Medlem
Hilberts hotell!

Woow... Hängde med men oändligheten... Jobbigt att tänka länge på xD

Hej, jag vill gärna bo i rum 9, är det ledigt?


signatur

FZ - SAMLADE SKRIFTER: #walter_iego

Medlem

Jag tar rum 1337

Ambassadör
League of Legends

Lite ändringar så fixar jag in i er alla rumsnummer som tillhör heltalen.
1337 är lyxsviten och vi betalar det dubbla för den, är det ok? Det är absolut inget som gör det lyxigt utöver det vanliga rummen men de senaste har detta rumsnummer blivit extra populärt bland våra yngre gäster och därmed kan vi ta extra betalt

Medlem

Ah okej, då kan jag nöja mig med rum 1333337

Ambassadör
League of Legends

Jag har inte kunnat släppa det här riktigt. Tänk hur rik hotellägaren blir om han tar 100 kronor/natt för ett rum. vilket är sjukt billigt. då tjänar han alltså 100*oändligheten?!

Glöm inte att han måste skatta på sina pengar...


signatur

FZ - SAMLADE SKRIFTER: #walter_iego

Medlem

35% skatt på oändligheten?

Medlem

Nu börjar folk skriva om riktigt intressanta saker här på Fz. Du kan räkna upp alla rationella tal med en bijektiv funktion från de naturliga talen (lite halvbökigt, men det går).

Vi kan alltså upprätta en bijektion mellan N och Q vilket är ekvivalent med att det finns lika många naturliga tal som rationella tal (ty varje naturligt tal motsvarar mot ett rationellt tal och vice versa). Det finns "uppräkneligt" många.

Det häftiga är att det finns ouppräkneligt många reella tal (kolla in Cantors diagonalbevis).

Det är inte så bökigt att visa att heltalen kan räknas upp ur de naturliga talen. Bilda bara en bijektiv funktion f, f tillhör N->Z (ge mig ett LaTeX-script!).

Vad pluggar du för något?


signatur

Bengebolle

Ja, precis 73mpl4R, annars är det inte en affärsrörelse...


signatur

FZ - SAMLADE SKRIFTER: #walter_iego

Ambassadör
League of Legends

Krutberit: jag läser Civilingenjör Väg och vatten och min kunskapsnivå sträcker sig inte så långt, är fortfarande tidigt i min utbildning. Jag har dock för mig att min föreläsare nämnde något med det du sa bara att han inte bevisade.

73mpl4R och walter_iego: Början på en enorm högkonjunktur?

Medlem
Skrivet av dali:

Krutberit: jag läser Civilingenjör Väg och vatten och min kunskapsnivå sträcker sig inte så långt, är fortfarande tidigt i min utbildning. Jag har dock för mig att min föreläsare nämnde något med det du sa bara att han inte bevisade.

73mpl4R och walter_iego: Början på en enorm högkonjunktur?

Jag pluggar Civilingenjör Datateknik, vi lär oss alldeles för lite matematik i min mening (Endim, Flerdim, LinAlg, Funktionsteori, System och transformer, Matematisk Statistik). Jag skall lägga till maximalt med matematik när det finns tillfälle, jag kan dessvärre endast lägga till Abstrakt algebra, Matristeori och Geometri.

Läser man något matematik-program så brukar de läsa de flesta av ovannämnda kurser på 1 år, det är fusk.


signatur

Bengebolle

Ambassadör
League of Legends

Ni läser ju rätt mycket mer matte än oss. vilket jag också saknar, men vi behöver ju inte den djupa nivån som ni behöver!

Medlem
Skrivet av dali:

Ni läser ju rätt mycket mer matte än oss. vilket jag också saknar, men vi behöver ju inte den djupa nivån som ni behöver!

Kanske inte. Men matematikens vidunderliga värld är vacker! Nu skall jag på en föreläsning om oändliga summor (lite underligt kallade serier).


signatur

Bengebolle

Ambassadör
League of Legends

Ack så vacker!

1
Skriv svar