Matte C, Nationella prov
Hallå där FZ, jag skulle gärna vilja ha hjälp med ett problem som uppkom i ett prov jag haft nyligen.
En rektangulär sandlåda ska byggas med area 30 kvadratmeter. Precis utanför och intill, omringande sandlådan, ska man lägga gummiasfalt.
Längs med sandlådornas långsidor ska bredden på gummiasfalten vara 1 meter, och längs med kortsidorna ska den vara 2 meter bred.
Kalla sandlådans långsida för X.
Vilket värde på X ger minsta arean för gummiasfalten?
sorry för dåliga paint skills.
Länge sedan jag räknade Matte C, så jag kanske har fel. Det finns säkert en smidigare lösning med men är lite trött i huvudet.
Men ställer du upp y=((x+4)*((30/x)+2))-30 kan du grafiskt få fram vilket x värde som ger minst y värde.
Vid x=2*√15 blir arean för gummiasfalten 38,98 och jag tror det är den minsta.
Hallå där FZ, jag skulle gärna vilja ha hjälp med ett problem som uppkom i ett prov jag haft nyligen.
En rektangulär sandlåda ska byggas med area 30 kvadratmeter. Precis utanför och intill, omringande sandlådan, ska man lägga gummiasfalt.
Längs med sandlådornas långsidor ska bredden på gummiasfalten vara 1 meter, och längs med kortsidorna ska den vara 2 meter bred.
Kalla sandlådans långsida för X.
Vilket värde på X ger minsta arean för gummiasfalten?
http://i.imgur.com/bnGWNF7.png
sorry för dåliga paint skills.
Jadå, jag ska göra ett försök att skriva ner det förståeligt med text
Först behöver vi en funktion som beskriver arean för gummiasfalten så vi behöver sandens andra sida. Om ytan är 30m^2 och ena sidan är x så blir andra sidan 30/x (x*y=30 -> y=30/x)
Gummiasfalten på bildens högra och vänstra kant får då höjden 30/x + 2*1 = 30/x+2
Arean för de båda blir alltså: 2*( 2*(30/x+2) ) = 120/x + 8
Gummiasfalten på bildens övre och nedre del har höjden 1 och längden x så
Arean för de båda bitarna: 2* (1*x) = 2x
Totala arean för gummiasfalten blir alltså: f(x)=2x + 8 + 120/x
För att ta reda på vart extrempunkterna för en funktion är deriverar man:
f'(x)=2 - 120/ (x^2) (derivatan för 1/x: 1/x ≡ x^(-1) -> (-1)*x^(-2) = -1/x^2 )
Sätt derivatan lika med 0 för att lura ut var extrempunkterna är:
2-120/(x^2) = 0 -> 2 = 120/(x^2) -> 2*x^2=120 -> x^2 = 60 x=± √(60)
Så det finns en extrempunkt vid x = √(60) och en vid x= -√(60)
Vi är inte intresserade av en negativ längd så egentligen är det bara x=√(60) som är intressant men med andraderivatan kan vi kontrollera att det är en min-punkt vi fått tag på:
f(x) = 2x+8+120/x -> f'(x)=2-120/x^2 -> f''(x)=240/x^3
f''(√(60))=240/(√(60))^3 ≈ 0.52 <--- positiv andraderivata är en min-punkt
f''(-√(60))=240/ ( (-√(60))^3 ≈ -0.52 <--- negativ andraderivata är en max-punkt
Så nu vet vi att min-värdet för arean på gummiasfalten är för x = √(60)
Så om jag inte räknat eller tänkt fel någonstans så borde sandlådans långsida vara x=√(60)m eller x≈7.75m . (vilket ger den andra sidan till ≈3.87m vilket i sig är en kortsida).
Edit: Ah, Leaster var snabbare
A casual stroll through a lunatic asylum shows that faith does not prove anything. -- Friedrich Nietzsche