Hjälp med matematikuppgift - Matte E
Hej på er allihopa!
Jag har en matematik uppgift jag mycket gärna skulle vilja ha hjälp med. Jag är tacksam för all hjälp jag kan få.
Svårighets graden på den är Matte E.
Här kommer den som en bild:
Jag är säker att man måste derivera för att kunna ta reda på den maximala och minimala volymen av konen. I detta fall är bara den maximala volymen intressant eftersom att den minimala volymen måste bli 0 v.e. (volym enheter).
Tack på förhand!
(Använder pseudolatex-notation, så ^ betyder superskript, _ betyder subskript... Int är integraltecknet.)
Låt b bara Ps y-värde, så att b = -a² + 5a. Då får linjen från origo till P formen y = (5 - a)x. Detta sätter man in i integralen:
V = pi Int_0^a y² dx = pi (5-a)² Int_0^a x² dx = pi (5-a)²a³/3
Jag antar att man nu ska maximera volymen m.a.p. variabeln a. Så vi hittar maximeraren till (5-a)²a³ (obs att konstanten pi/3 är bortdelad i detta steget) genom att derivera:
d/dx (5-a)²a³ = d/dx (25a³ - 10a^4 + a^5) = 75a² - 40a³ + 5a^4.
Hitta extrempunkt genom att sätta till 0:
75a² - 40a³ + 5a^4 = 0 <=> { Observera att man kan dela bort a², detta motsvarar den (dubbla) extrempunkt som finns vid a=0 } <=> 15 - 8a + a² = 0 <=> a = 4 +- sqrt(4² - 15) = 4 +- 1.
a_1 = 3
a_2 = 5
(Notera att återigen, en av dessa punkter, nämligen a_2 = 5, kommer vara ett minimum som ger V = 0).
Sätt in a=3 i formen för volymen V = pi (5-a)²a³/3 ger svaret V = 36pi.
Kan finnas slarvfel i det hela eftersom det knappast är ultimat att räkna i en textarea :).
(Använder pseudolatex-notation, så ^ betyder superskript, _ betyder subskript... Int är integraltecknet.)
Låt b bara Ps y-värde, så att b = -a² + 5a. Då får linjen från origo till P formen y = (5 - a)x. Detta sätter man in i integralen:
V = pi Int_0^a y² dx = pi (5-a)² Int_0^a x² dx = pi (5-a)²a³/3
Jag antar att man nu ska maximera volymen m.a.p. variabeln a. Så vi hittar maximeraren till (5-a)²a³ (obs att konstanten pi/3 är bortdelad i detta steget) genom att derivera:
d/dx (5-a)²a³ = d/dx (25a³ - 10a^4 + a^5) = 75a² - 40a³ + 5a^4.
Hitta extrempunkt genom att sätta till 0:
75a² - 40a³ + 5a^4 = 0 <=> { Observera att man kan dela bort a², detta motsvarar den (dubbla) extrempunkt som finns vid a=0 } <=> 15 - 8a + a² = 0 <=> a = 4 +- sqrt(4² - 15) = 4 +- 1.
a_1 = 3
a_2 = 5
(Notera att återigen, en av dessa punkter, nämligen a_2 = 5, kommer vara ett minimum som ger V = 0).
Sätt in a=3 i formen för volymen V = pi (5-a)²a³/3 ger svaret V = 36pi.
Kan finnas slarvfel i det hela eftersom det knappast är ultimat att räkna i en textarea :).
Tack så oerhört mycket för ditt välskrivna svar! Det hjälpe mig verkligen!
Jag har sammanfattat hela uträkningen i bilden nedan. Jag hoppas att den stämmer, annars får du gärna korrigera mig!
Tack så mycket åter igen!
Det var så lite så!
Det ser bra ut, men jag kom att tänka på en sak som jag kanske borde gjort annorlunda i min beskrivning. Det är möjligt att de inte gillar att man delar bort a² bara så där när man ska hitta roten. För att vara på den säkra sidan borde man kanske skriva att
a²(15-8a-a²) ==> a_1 = a_2 = 0,
så att till slut
a_1 = a_2 = 0
a_3 = 3
a_4 = 5
och konstatera att V(a_1) = V(a_2) = 0 v.e. (precis som du gjort med V(a_4)). Det blir ju samma svar, men det där är sån sak de kan klaga på annars--dvs den som rättar är petig :P.
(Använder pseudolatex-notation, så ^ betyder superskript, _ betyder subskript... Int är integraltecknet.)
Låt b bara Ps y-värde, så att b = -a² + 5a. Då får linjen från origo till P formen y = (5 - a)x. Detta sätter man in i integralen:
V = pi Int_0^a y² dx = pi (5-a)² Int_0^a x² dx = pi (5-a)²a³/3
Jag antar att man nu ska maximera volymen m.a.p. variabeln a. Så vi hittar maximeraren till (5-a)²a³ (obs att konstanten pi/3 är bortdelad i detta steget) genom att derivera:
d/dx (5-a)²a³ = d/dx (25a³ - 10a^4 + a^5) = 75a² - 40a³ + 5a^4.
Hitta extrempunkt genom att sätta till 0:
75a² - 40a³ + 5a^4 = 0 <=> { Observera att man kan dela bort a², detta motsvarar den (dubbla) extrempunkt som finns vid a=0 } <=> 15 - 8a + a² = 0 <=> a = 4 +- sqrt(4² - 15) = 4 +- 1.
a_1 = 3
a_2 = 5
(Notera att återigen, en av dessa punkter, nämligen a_2 = 5, kommer vara ett minimum som ger V = 0).
Sätt in a=3 i formen för volymen V = pi (5-a)²a³/3 ger svaret V = 36pi.
Kan finnas slarvfel i det hela eftersom det knappast är ultimat att räkna i en textarea :).
Här: <=> 15 - 8a + a²
Blir det inte 9a..?
My way is better than yours :D
Ursäkta men jag talar nog för de flesta på forumet nu, när jag säger....
...What..?
Hej igen!
Jag har tre matematikfrågor till jag har problem med. Jag skulle vara mycket tacksam om ni hade kunnat hjälpa mig med att lösa dessa med, snarast. Jag ska ha prov på detta nu på onsdag (17:e januari) och är tacksam för all hjälp jag kan få.
Jag vore tacksam om bara personer som kan hjälpa mig att lösa frågorna svarar här just nu.
Här kommer de tre frågorna.
1. Betrakta det område som begränsas av x-axeln och kurvan y=a²-x². Man låter detta område rotera, dels kring x-axeln, dels kring y-axeln. Bestäm den positiva konstanten a så att de båda rotationsvolymerna blir lika stora.
Här är en bild på formler jag vet man ska använda sig av:
2. Tomten tränar slalom bakom Rudolf med röda mulen på samma sätt som en vattenskidåkare kan åka slalom. Matematiskt förenklat kan man beskriva tomtens bana som en sinusformad kurva, y=A sin kx, medan Rudolf rör sig längs x-axeln och tomten hela tiden dras fram av en kraft som har x-axelns riktning. Bojarna som tomten ska runda har lagts ut så att den sinusformade banan får amplituden A=6,0 meter och perioden 30 meter.
Vilken är tomtens största hastighet i banan om Rudolf farts hela tiden är 48 km/h?
3. Sir Isaac Newton är arg på den konkurrerande matematikern Gottfrid Wilhelm Leibniz och har bestämt sig för att puckla på honom ordentligt. Den gode Gottfrid har dock skyddat sig genom att bygga ett tre meter högt staket två meter från sin husvägg. Sir Isaac behöver därför en stege som han lutar över staketet för att nå fram till Gottfrids vägg.
a) Sir Isaac är ganska snål. (Han var vid ett tillfälle chef på det engelska myntverket.) Så för honom räcker det inte bara med att ta sig över staketet till väggen. Utan han vill ta med sig absolut så kort stege som möjligt. Vilken är längden på den kortaste stegen som når till väggen lutad över staketet?
b) När Sir Isaac har klättrat halvvägs över på sin stege så brakar staketet! Den övre delen av stegen glider då (p.g.a. friktionen) med den konstanta hastigheten 0.5 m/s ner längs husväggen. Med vilken hastighet lämnar den nedre delen av stegen husväggen, när den övre har glidit ner 1 m?
c) Anta att Gottfrid istället hade satt upp sitt staket a meter från husväggen och att staketet är b meter högt. Vilken blir då längden på den kortast möjliga stegen?
Tack så mycket på förhand!
PS! Ni behöver inte svara på alla tre frågor nu på en gång. Har ni bara svaret på en fråga för tillfället är jag tacksam om jag bara får hjälp med den så länge
Det bästa är att flertalat ingejörsutbildningar tagit bort Matte E som ett krav, så nu kan mer än någonsin fråga sig vad som är poängen med det. För att det är bekvämare att komma in i studierna på högskolan om man läst det?
det är _definitivt_ bekvämare att komma in i studierna..
fattar man matte E äre en bra grund för en satans massa högskolematte (förutsatt att man läser något lite matteinriktat dvs..)
Give me death or give me rain - I feel so numb, better give me pain.
Här: <=> 15 - 8a + a²
Blir det inte 9a..?
Hur kan det bli 9a?
Vill du se hela lösningen kan du titta på bilden i fjärde svaret på denna sidan, eller bara titta på bilden nedan:
http://aycu34.webshots.com/image/10433/2003153514127844091_rs...
Jag orkar inte tänka just nu när jag blir piggare kommer jag tillbaka och svarar. om ca 3 timmar eller så..
My way is better than yours :D
1.
Rotationen kring x-axeln:
Gränserna för integralen blir x=0 och x=a.
V_1 = pi Int_0^a y² dx = pi Int_0^a (a² - x²)² dx = pi Int_0^a a^4 - 2a²x² + x^4 dx = pi [ a^4 x - (2/3) a² x³ + (x^5)/5 ] = pi (a^5 - (2/3) a^5 + (a^5)/5) = (8/15) pi a^5
Rotationen kring y-axeln:
invertera funktionen: x = sqrt(a² - y) (endast högra sidan av kurvan). Gränserna för integralen blir y=0 och y=a².
V_2 = pi Int_0^a² x^2 dy = pi Int a² - y dy = pi [ ya² - y²/2 ] = pi(a^4 - (a^4)/2) = (pi/2) a^4.
Sätt V_1 = V_2:
(8/15) pi (a^5) = (pi/2) a^4 <=> (16/15) a^5 = a^4 => { a_1 = 0 } => (16/15) a = 1 => a_2 = 15/16.
a_1 = 0
a_2 = 15/16
2.
Om vi antar att tomtens x-hastighet är konstant (vilket den inte är), så blir det så här:
x = 40/3 t [hastighet omvandlat till m/s]
dx/dt = 40/3
y = 6sin(2pi/30 x) [k=2pi delat med perioden]
dy/dt = dy/dx * dx/dt = 6*2pi/30 sin(2pi/30 x) * 40/3 = 48/9 pi sin(2pi/30 x)
Vi vet att sin(-) har maxvärdet 1, så maximala hastigheten ges av amplituden av dy/dt: 48/9 pi.
y' = dy/dt = 48/9 pi
x' = dx/dt = 40/3
v = sqrt(y'² + x'²) ~= 21.41 [m/s] = 77.1 [km/h]
Lite osäker på denna eftersom man inte bara kan ta hänsyn till tomtens hastighet i y-led. Jag skulle helst vilja göra någon slags linjeintegral för detta, men det känns väldigt omständligt.
Var ett tag sen jag gjorde denna matte så slå mig inte om jag gjorde något fel Vet inte om detta var det lättaste sättet eller om det är rätt men jag fick ett svar och har en vacker förklarande bild! (Ritar alltid bild, mycket lättare så tycker jag!)
http://img232.imageshack.us/img232/1884/3aft9.png
(bilden ful när nerskalad, klicka för större och ännu fulare variant)
längd marken till muren:
sqrt(A^2+3^2) = sqrt(A^2+9)
längd muren till hus (likformiga):
sqrt(A^2+3^2)*2/A = sqrt(A^2+9)*2/A
total längd T:
T = sqrt(A^2+9)+sqrt(A^2+9)*2/A = (1+2/A)*sqrt(A^2+9)
derivera och finn nollställen för att finna minsta T med avseende på A
dT/dA = (1+2/A)A/(sqrt(A^2+9)) - (2*sqrt(A^2+9))/A^2)
(1+2/A)A/(sqrt(A^2+9)) - (2*sqrt(A^2+9))/A^2) = 0
(1+2/A)A/(sqrt(A^2+9)) = (2*sqrt(A^2+9))/A^2)
(A+2)/(sqrt(A^2+9)) = (2*sqrt(A^2+9))/A^2)
(A+2) = (2*(A^2+9))/A^2)
A+2 = 2 + 18/A^2
A = 18/A^2
A^3 = 18
A = 18^(1/3)
(Rättade felet men gjorde säkert något nytt idiotiskt om nu inte allt innan var fel också )
(Kanske vill visa att detta verkligen är ett minimum)
T(18^(1/3)) = (1+2/(18^(1/3)))*sqrt((18^(1/3))^2+9) ~= 6.01
Får se om jag ger mig på b och c sen. C förvirrar mig lite dock.
c) Anta att Gottfrid istället hade satt upp sitt staket a meter från husväggen och att staketet är b meter högt. Vilken blir då längden på den kortast möjliga stegen?
a måste vara större än 2 eller? alltså att han satte stegen på utsidan av muren. Annars behövs det ju inte någon stege alls att komma fram till väggen?
A^3 = 18
A = 6
Måste väl snarare vara så att A = 18^(1/3) (dvs kubikroten) ~= 2,6.
Poängen med (c)-uppgiften är väl att istället för att använda siffrorna 2 resp 3 i uträkningarna lägger man in a och b... om jag räknat rätt (använder samma metod som du men använder x istället för A) så får jag att:
x = (ab²)^(1/3), vilket bör vara svaret på (c).
Det verkar stämma såvida formeln för längden är korrekt, dvs såvida L = sqrt(x² + b²) (1 + a/x) stämmer, vilket jag tror den gör...
Edit: Nej, för att korrekt lösa (c) ska man visst sätta in uttrycket för x i ekvationen för L. Blir inget direkt snyggt svar, men det kanske bara är att förenkla.
1. [....]
2.
Om vi antar att tomtens x-hastighet är konstant (vilket den inte är), så blir det så här:
x = 40/3 t [hastighet omvandlat till m/s]
dx/dt = 40/3
y = 6sin(2pi/30 x) [k = 2pi delat med perioden]
dy/dt = dy/dx * dx/dt = 6*2pi/30 sin(2pi/30 x) * 40/3 = 48/9 pi sin(2pi/30 x)
Vi vet att sin(-) har maxvärdet 1, så maximala hastigheten ges av amplituden av dy/dt: 48/9 pi.
y' = dy/dt = 48/9 pi
x' = dx/dt = 40/3
v = sqrt(y'² + x'²) ~= 21.41 [m/s] = 77.1 [km/h]
Lite osäker på denna eftersom man inte bara kan ta hänsyn till tomtens hastighet i y-led. Jag skulle helst vilja göra någon slags linjeintegral för detta, men det känns väldigt omständligt.
Hej Istarius och tack så mycket för din mycket goda hjälp!
Jag förstod hela första uppgiften utan problem men när det gäller andra uppgiften har jag två frågor.
1. Du säger att [k=2pi delat med perioden]. Hur vet man det?
2. När du deriverar y = 6sin(2pi/30 x). Borde det inte bli att y = 6*2pi/30 cos(2pi/30 x)?
D.v.s. borde det inte vara cos här istället för sin --> [dy/dt = dy/dx * dx/dt = 6*2pi/30 sin(2pi/30 x) * 40/3 = 48/9 pi sin(2pi/30 x) ] <-- i så fall?
Tack så mycket åter igen!
Jag ska ta och gå igenom Lejs och ditt svar på tredje uppgiften.
A^3 = 18
A = 6
Måste väl snarare vara så att A = 18^(1/3) (dvs kubikroten) ~= 2,6.
Ooookej sådant där fel får man inte göra >_<
Och jag som lyckades få VG på Analys MN1 precis innan jul. ALLT ÄR JULENS FEL!!!1
Anledningen till att jag tror jag gjort något fel är att Matte E uppgifterna alltid brukade trilla ut med simpla svar som heltal eller rationella tal. Detta blev bara något rörigtskitutryck :<
Hej Istarius och tack så mycket för din mycket goda hjälp!
Jag förstod hela första uppgiften utan problem men när det gäller andra uppgiften har jag två frågor.
1. Du säger att [k=2pi delat med perioden]. Hur vet man det?
2. När du deriverar y = 6sin(2pi/30 x). Borde det inte bli att y = 6*2pi/30 cos(2pi/30 x)?
D.v.s. borde det inte vara cos här istället för sin --> [dy/dt = dy/dx * dx/dt = 6*2pi/30 sin(2pi/30 x) * 40/3 = 48/9 pi sin(2pi/30 x) ] <-- i så fall?
Tack så mycket åter igen!
Jag ska ta och gå igenom Lejs och ditt svar på tredje uppgiften.
Säg att vi har en funktion sin(Ax) som ska ha perioden 30m. Då ska x=30 motsvara en hel period för sinuskurvan (som har perioden 2pi). Dvs så ska 30*A = 2pi, vilket leder till att A=2pi/30.
Du har helt rätt i att det borde bli cos istället för sin (det bör bli samma max-svar ändå). I mitt försvar säger jag att jag kopierade det fel från papperet (räknade inte i textarean denna gången) ;). Fast om jag ska vara helt ärlig är jag inte hundraprocentig på svaret ändå, jag tycker det låter lite för högt...
Ok dudes, By reading this I started to write english instead of Swedish, or something.
More or less, that is the advanced jäklaste skit ja nånsin sett i hela mitt liv + va ska man me denna kunskap till! Haha.
Bättre o jobba o tjäna pengar
PC: i5-10600K | 3070 Ti | 32GB DDR4 | nVME 1TB
Ok dudes, By reading this I started to write english instead of Swedish, or something.
More or less, that is the advanced jäklaste skit ja nånsin sett i hela mitt liv + va ska man me denna kunskap till! Haha.
Bättre o jobba o tjäna pengar
Hört att kids som är 18 tjänar jävligt grova stålar.